1313
1414来归一化直方图吧。
1515
16- 有时直方图会存在偏差 。
16+ 有时直方图会偏向一边 。
1717
1818比如说，数据集中在$0$处（左侧）的图像全体会偏暗，数据集中在$255$处（右侧）的图像会偏亮。
1919
2626x_{out}=
2727\begin{cases}
2828a& (\text{if}\quad x_{in}<c)\\
29- \frac{b-a}{d-c}\cdot (x_{in}-c)+a&(\text{else if}\quad c\leq x_{in}<d)\\
29+ \frac{b-a}{d-c}\ (x_{in}-c)+a&(\text{else if}\quad c\leq x_{in}<d)\\
3030b&(\text{else})
3131\end{cases}
3232$$
4848
4949可以使用下式将平均值为$m$标准差为$s$的直方图变成平均值为$m_0$标准差为$s_0$的直方图：
5050$$
51- x_{out}=\frac{s_0}{s}\cdot (x_{in}-m)+m_0
51+ x_{out}=\frac{s_0}{s}\ (x_{in}-m)+m_0
5252$$
5353
5454| 输入 (imori_dark.jpg) | 输出 (answers_image/answer_22_1.jpg) | 直方图(answers_image//answer_22_2.png) |
6868
6969均衡化操作由以下式子定义。$S$是总的像素数；$Z_ {max}$是像素点的最大取值（在这里是$255$）；$h(z)$表示取值为$z$的累积分布函数：
7070$$
71- Z' = \frac{Z_{max}}{S} \cdot \sum\limits_{i=0}^z\ h(i)
71+ Z' = \frac{Z_{max}}{S} \ \sum\limits_{i=0}^z\ h(i)
7272$$
7373
7474| 输入 (imori.jpg) | 输出 (answers/answer_23_1.jpg) | 直方图(answers_image/answer_23_2.png) |
9191
9292由于下式引起非线性变换，在该式中，$x$被归一化，限定在$[ 0,1] $范围内。$c$是常数，$g$为伽马变量（通常取$2.2$）：
9393$$
94- x' = c\cdot {I_{in}}^ g
94+ x' = c\ {I_{in}}^ g
9595$$
9696因此，使用下面的式子进行伽马校正：
9797$$
98- I_{out} ={\frac{1}{c}\cdot I_{in}} ^ {\frac{1}{g}}
98+ I_{out} ={\frac{1}{c}\ I_{in}} ^ {\frac{1}{g}}
9999$$
100100| 显示屏上的图像显示 | $\gamma$修正值 |
101101| :--------------------: | :--------------------: |
118118
119119最近邻插值在图像放大时补充的像素取最临近的像素的值。由于方法简单，所以处理速度很快，但是放大图像画质劣化明显。
120120
121- 使用下面的公式放大图像吧！$I'$为放大后图像，$I$为放大前图像，$a$为放大率，方括号是四舍五入取证操作 ：
121+ 使用下面的公式放大图像吧！$I'$为放大后图像，$I$为放大前图像，$a$为放大率，方括号是四舍五入取整操作 ：
122122
123123<img src =" assets/nni_fig.png " >
124124$$
150150
1511514 . 根据下式求得放大后图像$(x',y')$处的像素值：
152152$$
153- d_x = \frac{x'}{a} - x\\
153+ d_x = \frac{x'}{a} - x\\
154154 d_y = \frac{y'}{a} - y\\
155- I'(x',y') = (1-d_x)\cdot (1-d_y)\cdot I(x,y) + d_x\cdot (1-d_y)\cdot I(x+1,y) + (1-d_x)\cdot d_y\cdot I(x,y+1) + d_x\cdot d_y\cdot I(x+1,y+1)
155+ I'(x',y') = (1-d_x)\ (1-d_y)\ I(x,y) + d_x\ (1-d_y)\ I(x+1,y) + (1-d_x)\ d_y\ I(x,y+1) + d_x\ d_y\ I(x+1,y+1)
156156$$
157157| 输入 (imori.jpg) | 输出(answers_image/answer_26.jpg) |
158158| :--------------: | :-------------------------------: |
174174各自像素间的距离由下式决定：
175175$$
176176\begin{align*}
177- d_{x_1} = |\frac{x'}{a\cdot x} - (x-1)|\quad
178- d_{x_2} = |\frac{x'}{a\cdot x}- x| \quad
179- d_{x_3} = |\frac{x'}{a\cdot x}- (x+1)|\quad
180- d_{x_4} = |\frac{x'}{a\cdot x} - (x+2)|\\
181- d_{y_1} = |\frac{x'}{a\cdot y} - (y-1)|\quad
182- d_{y_2} = |\frac{x'}{a\cdot y} - y| \quad
183- d_{y_3} = |\frac{x'}{a\cdot y} - (y+1)| \quad
184- d_{y_4} = |\frac{x'}{a\cdot y} - (y+2)|
177+ d_{x_1} = |\frac{x'}{a\ x} - (x-1)|\quad
178+ d_{x_2} = |\frac{x'}{a\ x}- x| \quad
179+ d_{x_3} = |\frac{x'}{a\ x}- (x+1)|\quad
180+ d_{x_4} = |\frac{x'}{a\ x} - (x+2)|\\
181+ d_{y_1} = |\frac{x'}{a\ y} - (y-1)|\quad
182+ d_{y_2} = |\frac{x'}{a\ y} - y| \quad
183+ d_{y_3} = |\frac{x'}{a\ y} - (y+1)| \quad
184+ d_{y_4} = |\frac{x'}{a\ y} - (y+2)|
185185\end{align*}
186186$$
187187权重由基于距离的函数取得。$a$在大部分时候取$-1$。大体上说，图中蓝色像素的距离$|t|\leq 1$，绿色像素的距离$1<|t|\leq 2$：
188188$$
189189h(t)=
190190\begin{cases}
191- (a+2)\cdot |t|^3 - (a+3)\cdot |t|^2 + 1 &\text{when}\quad |t|\leq 1 \\
192- a\cdot |t|^3 - 5\cdot a\cdot |t|^2 + 8\cdot a\cdot |t| - 4\cdot a&\text{when}\quad 1<|t|\leq 2\\
191+ (a+2)\ |t|^3 - (a+3)\ |t|^2 + 1 &\text{when}\quad |t|\leq 1 \\
192+ a\ |t|^3 - 5\ a\ |t|^2 + 8\ a\ |t| - 4\ a&\text{when}\quad 1<|t|\leq 2\\
1931930&\text{else}
194194\end{cases}
195195$$
230230a&b\\
231231c&d
232232\end{matrix}
233- \right)\cdot
233+ \right)\
234234\left(
235235\begin{matrix}
236236x\\
254254\right)+
255255\left(
256256\begin{matrix}
257- tx \\
258- ty
257+ t_x \\
258+ t_y
259259\end{matrix}
260260\right)
261261$$
@@ -270,11 +270,11 @@ y'\\
270270\right)=
271271\left(
272272\begin{matrix}
273- a&b&tx \\
274- c&d&ty \\
273+ a&b&t_x \\
274+ c&d&t_y \\
2752750&0&1
276276\end{matrix}
277- \right)\cdot
277+ \right)\
278278\left(
279279\begin{matrix}
280280x\\
@@ -295,13 +295,13 @@ x\\
295295y
296296\end{matrix}
297297\right)=
298- \frac{1}{a\cdot d-b\cdot c}\cdot
298+ \frac{1}{a\ d-b\ c}\
299299\left(
300300\begin{matrix}
301301d&-b\\
302302-c&a
303303\end{matrix}
304- \right)\cdot
304+ \right)\
305305\left(
306306\begin{matrix}
307307x'\\
310310\right)-
311311\left(
312312\begin{matrix}
313- tx \\
314- ty
313+ t_x \\
314+ t_y
315315\end{matrix}
316316\right)
317317$$
3303300&1&t_y\\
3313310&0&1
332332\end{matrix}
333- \right)\cdot
333+ \right)\
334334\left(
335335\begin{matrix}
336336x\\
366366## 问题三十：仿射变换（ Afine Transformations ）——旋转
367367
3683681 . 使用仿射变换，逆时针旋转$30$度。
369- 2 . 使用仿射变换，逆时针旋转30度并且能让全部图像显现 （也就是说，单纯地做仿射变换会让图片边缘丢失，这一步中要让图像的边缘不丢失，需要耗费一些工夫）。
369+ 2 . 使用仿射变换，逆时针旋转$30$度并且能让全部图像显现 （也就是说，单纯地做仿射变换会让图片边缘丢失，这一步中要让图像的边缘不丢失，需要耗费一些工夫）。
370370
371371使用下面的式子进行逆时针方向旋转$A$度的仿射变换：
372372$$
@@ -379,11 +379,11 @@ y'\\
379379\right)=
380380\left(
381381\begin{matrix}
382- \cos(A)&-\sin(A)&tx \\
383- \sin(A)&\cos(A)&ty \\
382+ \cos(A)&-\sin(A)&t_x \\
383+ \sin(A)&\cos(A)&t_y \\
3843840&0&1
385385\end{matrix}
386- \right)\cdot
386+ \right)\
387387\left(
388388\begin{matrix}
389389x\\
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